Teorema de Pitágoras

 

 

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

Triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c

O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplos:

1º) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15

A descoberta dos números irracionais

Foi por meio do Teorema de Pitágoras que os números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu no cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....

2º) Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15

3º) Um ciclista acrobático passará de um prédio a outro com uma bicicleta especial e sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

 Leis do seno, cosseno e tangente

 

  

A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados com a Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonométricos. Por essa razão, muitos consideram-no o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.

Seno = Cateto oposto
            hipotenusa

Cosseno = Cateto adjacente
                  hipotenusa

Tangente = cateto oposto
                  cateto adjacente

Tabelas trigonométricas

No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por esse motivo, seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela. Veja:

Tabela dos valores de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis

Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos por intermédio de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica. Observe:

Tabela com os valores de seno, cosseno e tangente para todos os ângulos

Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos, utilizamos as seguintes definições:

sen x = sen (180º – x)

cos x = – cos (180º – x)

Exemplo:  

Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º.

sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660

cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000

 

ATIVIDADE PARA ENTREGAR

Atenção, caros alunos, os exercícios abaixo devem ser resolvidos e entregues em com capa.

 Capa:

ESCOLA ESTADUAL CAIO NELSON DE SENA

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

 DATA:

ALUNO:________________________________________

TURMA:________________________________________

 

EXERCÍCIOS